Newtons Metode

Interaktiv step-visualisator til nulpunktsbestemmelse og konvergensanalyse

Eksperimentets Indstillinger

Tip: Du kan også klikke direkte på grafen for at vælge et nyt startgæt $x_0$.

Step 0

Geometrisk Visualisering

Funktion $f(x)$
Tangent i $(x_n, f(x_n))$
Næste gæt $x_{n+1}$ (Skæring med x-akse)
Projektion til $f(x_{n+1})$
Klik på grafen for at sætte $x_0$

Iterationsoversigt (Data-tabel)

$n$ $x_n$ $f(x_n)$ $f'(x_n)$ $|x_{n+1}-x_n|$

Teori & Algoritme

Newtons opdateringsformel:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Læringspunkter:
  • 1. Tangentens skæring: Tangenten i $(x_n, f(x_n))$ har ligningen $y - f(x_n) = f'(x_n)(x - x_n)$. Sættes $y = 0$, fås skæringen $x_{n+1}$.
  • 2. Kvadratisk konvergens: Ved pæne funktioner fordobles antallet af korrekte decimaler næsten for hvert step!
  • 3. Flad tangent ($f'(x_n) \approx 0$): Hvis den afledede er nær nul, bliver tangenten vandret. Det sender $x_{n+1}$ uendeligt langt væk.
  • 4. Cykler og divergens: Algoritmen garanterer ikke konvergens. Visse startgæt fører til uendelige løkker eller kaotisk divergens.

Refleksionsspørgsmål

Hvorfor konvergerer $x^3 - 2x - 5$ så hurtigt fra $x_0 = 3$?

Fordi $f'(x_0) = 25$ er stor, og $f''(x)$ er velopdraget i området. Bemærk hvordan fejl-kolonnen $|x_{n+1}-x_n|$ falder drastisk efter få steps.

Hvad sker der for $f(x) = x^3 - 3x$ hvis du vælger $x_0 = 1,0$?

I $x = 1,0$ har $f(x)$ et lokalt minimum, så $f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 0$. Formlen forsøger at dividere med 0, hvilket er udefineret – tangenten er helt vandret!

Hvad sker der for $f(x) = x^3 - 2x + 2$ med $x_0 = 0,0$?

Med $x_0 = 0$ får vi $x_1 = 1$. Med $x_1 = 1$ får vi $x_2 = 0$. Algoritmen hopper evigt frem og tilbage mellem $0$ og $1$ uden nogensinde at nå nulpunktet ved $x \approx -1{,}769$.