Opgaver 1: Symmetri og Midtpunkt
Indstil $\mu = 0$ og $\sigma = 1$. Træk derefter $x_0$ til $0{,}00$.
- Hvad er værdien af fordelingsfunktionen $F(0)$? Hvad betyder det for det skraverede areal på den øverste graf?
- Hvorfor vil $F(\mu)$ altid være lig med præcis $0{,}50$ uanset hvad du ændrer $\mu$ og $\sigma$ til? Tryk på knappen nedefor for at tjekke dit svar.
Svar: $F(0) = 0{,}50$. Da normalfordelingen er fuldstændig symmetrisk omkring sin middelværdi $\mu$, er nøjagtigt halvdelen (50%) af det samlede areal placeret til venstre for $\mu$. Derfor gælder der altid, at $F(\mu) = 0{,}50$, uanset værdierne af $\mu$ og $\sigma$.
Opgaver 2: Hældning og Infleksionspunkt
Træk slideren for $x_0$ langsomt fra $-3{,}00$ til $+3{,}00$ mens du kigger på den nederste graf $F(x)$.
- Hvor på kurven $F(x)$ er hældningen (stigningen) allerstørst?
- Hvordan hænger dette sted sammen med toppen af tæthedsfunktionen $f(x)$?
Svar: Fordelingsfunktionen $F(x)$ stiger allerhurtigst lige ved $x = \mu$ (middelværdien).
Dette skyldes differential- og integralregningens hovedsætning: Hældningen på fordelingsfunktionen er lig med tæthedsfunktionen, altså $F'(x) = f(x)$. Da $f(x)$ har sit maksimum ved $x = \mu$, har $F(x)$ sin største hældning (sit infleksionspunkt) ved netop $x = \mu$.
Opgaver 3: Betydningen af Spredningen ($\sigma$)
Sæt $\mu = 0$ og træk spredningen $\sigma$ op fra $1{,}00$ til $2{,}50$.
- Hvad sker der med maksimumhøjden af tæthedsfunktionen $f(x)$? Hvorfor bliver den lavere?
- Hvordan påvirker den større spredning fordelingsfunktionen $F(x)$?
Svar: Da det samlede areal under $f(x)$ skal være præcis $1$ (100%), vil en bredere kurve nødstedvis være lavere på midten. Når $\sigma$ øges, "spredes" sandsynligheden ud, hvilket gør $F(x)$ mere flad og mindre stejl i midten.
Opgaver 4: Beregn Intervalsandsynligheder
Sæt $\mu = 0$ og $\sigma = 1$. Vi vil finde sandsynligheden $P(-1 \le X \le 1)$, dvs. sandsynligheden for at ligge inden for $\pm 1$ spredning fra middelværdien.
- Brug slideren til at finde $F(1{,}00)$ og $F(-1{,}00)$.
- Udregn forskellen $F(1{,}00) - F(-1{,}00)$. Hvad bliver resultatet?
Svar: FRA slideren aflæses:
$F(1,00) \approx 0{,}8413$ og $F(-1{,}00) \approx 0{,}1587$.
Dermed er $P(-1 \le X \le 1) = F(1{,}00) - F(-1{,}00) = 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6826$ (ca. $68{,}3\%$). Dette er den velkendte $68\%, 95\%, 99{,}7\%$ regel!
$F(1,00) \approx 0{,}8413$ og $F(-1{,}00) \approx 0{,}1587$.
Dermed er $P(-1 \le X \le 1) = F(1{,}00) - F(-1{,}00) = 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6826$ (ca. $68{,}3\%$). Dette er den velkendte $68\%, 95\%, 99{,}7\%$ regel!